EASY MATH

Las matemáticas más fáciles de lo que pensabas

El objetivo de este blog es que a su termino, el estudiante pueda comprender de manera integra los temas de Matemáticas II para preparatoria, especialmente el de Congruencia de Triángulos. Esto lo logrará realizando todas las actividades y ejercicios que se le plantean.

INTRODUCCIÓN AL TEMA

Iniciemos con un tema simple de la materia de matemáticas II:

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Iniciaremos con unas actividades:

1.- Observa los siguientes triángulos:

¿Qué ves en ellos?

2.- Completa mentalmente las siguientes figuras

3.- Observa las siguiente imagen y piensa que pasaría si las piezas tuvieran diferentes tamaños.

Como pudiste darte cuenta, lo común de los ejercicios anteriores es que en todos existe de forma indirecta el concepto de IGUALDAD.

Entiéndase que desde ahora en adelante nos referiremos a la igualdad como congruencia. Entonces al hablar de congruencia de triángulos nos referimos a igualdad de triángulos.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Ya que sabemos que congruencia de triángulos se refiere a la igualdad entre estos, es necesario saber que para demostrar esa igualdad existen unos criterios, los cuales veremos más adelante. Pero antes de eso revisaremos un poco lo que son los triángulos y las partes e información sobre esta básica forma geométrica:

El triangulo es una figura geométrica conformada por tres lados, tres ángulos y tres vértices.

Usualmente nombraremos a los vértices y ángulos con letras mayúsculas, y a los lados con letras minúsculas.

Sabiendo esto pasemos a información fundamental para entender el tema y resolver los posteriores ejercicios que se presenten.

PROPIEDADES DE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

1. En todo triángulo un lado cualquiera es MENOR que la suma de los otros dos.
2. En todo triángulo un lado cualquiera es MAYOR que la resta de los otros dos
3. En todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales.
4. Cuanto mayor sea el lado de un triángulo, mayor será su ángulo.
5. La suma de los ángulos interiores de TODO triángulo es 180°.

Comprobemos juntos la piedades 1, 2 y 5, pues se apegan al siguiente ejercicio.

1.-
a) Si comparamos el lado c (de tres unidades), con la suma del lado a más el lado b (en total suman seis unidades), es mayor dicha suma. 

Matemáticamente se escribe:

LADO C < LADO A + LADO B          c < a + b
es decir 3 < 4 + 2                                   3 < 6  

b) Ahora si comparamos el lado b (de dos unidades), con la suma del lado a más el lado c (en total suman siete unidades), es mayor dicha suma.
Matemáticamente se escribe:
LADO B < LADO A + LADO C          b < a + c
es decir 2 < 3 + 4                                   2 < 7

c) Por último el lado a (de cuatro unidades) comparado con la suma del lado b más el lado c (en total suman 5), es mayor dicha suma.
LADO A < LADO B + LADO C          a < b + c
es decir 4 < 5                                          4 < 2 + 3

2.-
a) Si comparamos el lado c (de tres unidades), con la diferencia del lado a menos el lado b (que dan como resultado dos unidades), es mayor que dicha resta.

Matemáticamente se escribe:

LADO C > LADO A - LADO B            c > a - b
es decir 3 > 4 - 2                                     3 > 2

b) Ahora si comparamos el lado b (de dos unidades), con la diferencia entre el lado a y el lado c (que dan como resultado una unidad), es mayor que dicha resta.

Matemáticamente se escribe:

LADO B > LADO A - LADO C             b > a - c
es decir 2 > 4 - 3                                      2 > 1

c) Por último si comparamos el lado a (de cuatro unidades) con la diferencia entre el lado c y el lado b (que dan como resultado una unidad), es mayor que dicha diferencia.

Matemáticamente se escribe:

LADO C > LADO A - LADO B            c < a + b
es decir 4 > 3 - 2                                     4 > 1

5.-
En este particular caso, la suma de los vértices A, B y C suman 180°
A + B + C = 180°            55° + 40° + 85° = 180°


Resolvamos ahora un par de ejercicios.

PROBLEMAS

Suponga usted que tiene un triángulo con las siguientes características: sus lados a, b y c miden 6, 6.5 y 3.5 unidades respectivamente. Los ángulos A, B y C miden 86, 64 y 30 grados respectivamente. Complete con las información presentada

EJERCICIOS TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Ahora si entremos pues al tema central:

Entiéndase que dos o más figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. O también si al sobreponer una figura sobre la otra coinciden en todos sus puntos.

Sabemos que algunas figuras se pueden descomponer en triángulos, que son las figuras geométricas más simples.

Si dos triángulos son congruentes sus lados y angulos coinciden con los del otro se llaman homólogos, es decir, sus lados y ángulos que se corresponden son iguales. Veamos el siguiente ejemplo:

1. En este caso el lado a le corresponde el d (Como vemos son iguales pues miden tres unidades)
2. Al lado b le corresponde el e
3. Y por último al lado c le corresponde el  f

Por lo que podemos decir que el triángulo que llamaremos ABC es congruente al triángulo DEF

Para la congruencia utilizaremos el símbolo:

En el caso anterior y como sólo contamos con datos de los lados del triángulo se demostraría así la congruencia de estos triángulos:

Por lo tanto

En el caso anterior se pueden ver dos cosas: 1) Que necesitamos tres datos (ya sean ángulos o lados) para juzgar que dos triángulos son congruentes o no. 2) Se utilizaron únicamente los datos de los lados conocidos, pero existen otros criterios para demostrar la congruencia, de acuerdo a los datos que se tengan en el problema dado.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA

Los triángulos que son congruentes satisfacen los siguientes postulados:

• Criterio L.A.L. (lado-ángulo-lado): Si tienen dos lados iguales y el ángulo que se forma con la unión de estos (el vértice) también es igual. 

• Criterio A.L.A. (Ángulo-Lado-Ángulo): Teniendo un lado igual y con los ángulos que se forman en dicho lado también iguales. 

• Criterio L.L.L.  (Lado-Lado-Lado): Si tiene sus tres lados iguales.

Si un par de triángulos cualquiera cumple con alguno de estos criterios, pueden considerarse como triángulos congruentes.

Ahora es tu turno:

Realiza la siguiente actividad.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Otros medios

Si a pesar de todas estas explicaciones no comprendiste del todo el tema, te sugerimos veas los siguientes videos:

LINK A VIDEOS

https://www.youtube.com/watch?v=IboQuxUQbfM https://www.youtube.com/watch?v=ohXMh1OHxZE

REFERENCIAS

http://matematica.laguia2000.com/general/congruencia-de-triangulos
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SAN LUIS POTOSÍ (2013), Matemáticas II basado en competencias

INTEGRANTES:

• Esaú Abimael Ruiz Palomo